Illustration de la modélisation booléenne pour un système simple constitué de deux gènes s’inhibant mutuellement. A. Schéma moléculaire. B. Modélisation booléenne synchrone. Les équations (à gauche) expriment le fait qu’à un moment donné (t+1), le gène codant pour le premier répresseur (variable x) ne s’exprimera que si le second répresseur (variable y) était absent précédemment (à l’instant t) (idem pour l’expression d’y). La mise à jour des valeurs des deux variables se fait de manière simultanée, ce qui donne une table des états (milieu) et un graphe des séquences d’états (à droite) caractérisés par deux états stables avec expression exclusive de l’un ou l’autre des répresseurs. Le système comporte deux états stables, [10] et [01] (les crochets dénotant la stationnarité), où un seul répresseur est présent, inhibant la synthèse de l’autre de manière durable. Le système comporte un cycle où les deux gènes s’allument et s’éteignent de manière exactement synchrone et indéfiniment (flèches entre 00 et 11). En effet, à l’état 00, les deux répresseurs sont absents et les deux gène s’allument (« + » au-dessus des valeurs logiques 00). À l’instant suivant, les deux répresseurs seront considérés comme présents (état 11) et s’inhiberont l’un l’autre (« — » au-dessus des valeurs logiques 11), ramenant le système à l’état 00, etc. C. La formulation asynchrone ne prédétermine pas la manière de simuler le comportement temporel du système et représente son évolution sous la forme de fonctions « X » et « Y ». La table des états et le graphe des séquences d’états donnent les mêmes états stables que l’approche synchrone ([10] et [01]), mais les deux autres états conduisent maintenant vers l’un ou l’autre de ces états stables, en fonction des valeurs relatives des délais de transition associés à chacune des commutations (représentées par des flèches). D’un point de vue biologique, cela revient à dire qu’il y aura généralement un répresseur qui atteindra son seuil d’action plus rapidement que l’autre.